Si nous parlions roulements ?

Billet N° 168

il y a quelques temps, un correspondant m’a questionné au sujet du dimensionnement des roulements destinés à équiper le rotor d’un autogire de masse Mc = 5 kG. Il s’est avéré que le problème n’était pas aussi simple et que beaucoup de paramètres entraient en ligne de compte…
L’exposé ci-après semblera fastidieux, mais une formule simplifiée en fin d’article pourra donner une estimation relativement juste…

Choix du type de roulement :

Il existe une grande variété de roulements : à billes, rouleaux, aiguilles, contact oblique, butées etc… Pour des questions de prix et de disponibilité dans les petits diamètres, seuls les roulements à gorge profonde seront retenus étant donné qu’ils sont capables d’encaisser des efforts axiaux. Toutefois ; dans ce cas les effort admissibles sont fortement diminués.

Roulements à gorges profondes

Cas de l’effort radial seul : La surface de contact est maximum.
Cas de d’efforts radial et axial combinés : La surface de contact est fortement diminuée.

Caractéristiques des roulements à gorges profondes ( FÄG etSKF ) :

Tableau des charges dynamiques pour des roulements d’alésages 3 mm à 10 mm :

Nota : EL 5 et R 4 sont d’encombrements identiques ; idem pour pour EL 7 et R  8.

Tous à la masse …

Avertissement : les calculs qui vont suivre respectent la norme SI (système international) en vigueur depuis 1966 dont les masses s’expriment en kG et les forces en Newton.
(1 N ≅ 0,1 kGforce ou kGpoids dans l’ancien système MKS).
Dans nos contrées, la valeur de g est de 9,81 m/sec²

Poids du modèle   =   F1   =   Mc * g    =    5 * 9,81   =   49 Newton

1) Charge rotorique :

La charge rotorique Cr communément testée pour un modèle de cette taille étant d’environ 0,15 N/dm², on en déduit le rayon Rr du rotor :

Cr   =   F1  / ( π * Rr² )   soit   0,15   =   49 / ( 3,14 * Rr² )      soit   Rr²   =   49 / ( 3,14 * 0,15 )
Rr²   =   104   soit   Rr   =   10,2 dm    diamètre  rotor   Dr   =   10,2 *  2 * 100   =   2,040 m

2) Surcharges :

Les chiffres ci-dessus concernent un vol en palier  et en air calme ; qu’en est’il si on envisage quelques loopings ?
Hypothèses :
Estimation vitesse :   Vh   =   60 km/heure   =   60000 / 3600   =               16,7 m/sec
Estimation rayon du looping  :                                                                       Rl   =   10 m
Force centrifuge   =  F2   =   M * Vh² / Rl   =   ( 5 * 16,7 * 16,7 ) / 10   =   139 Newton
Nota : soit 3,8 g

3) Tout en finesse  :

La finesse des autogires est beaucoup moins importante que celle des avions et elle se dégrade encore plus pour des petits modèles.
δ   =   7   Pour des autogires grandeur modernes comme l’Umbaugh V 18.
δ   =   6   pour des autogires grandeur classiques C 30, Kellet, Pitcairn.
δ   =   1 pour des modèles RC de taille moyenne (rotors de 1,0 à 1.5 m).
δ   = 0,5 pour un petit modèle de vol libre à moteur caoutchouc.
Dans le cas qui nous intéresse ; vu le diamètre, la finesse sera estimée à    δ   =   1,5

Figure N° 1 : Portance/traînée

Portance totale  :   Fp   =   F1 + F2   =   49 + 139   =                      188 Newton
Traînée totale  :     Ft   =   Fp / δ   =   188 / 1,5   =                          125 Newton
Tangente Â1   =   1 / δ   =   1 / 1,5   =   0,666     soit                      Â1   =   33,66°
R   =   Fp / cosinus 33°41′   =   188 / 0,83212     =                          226 Newton

4) Influence de l’inclinaison du mât rotor :

Figure N° 2 Axial / Radial

Angle d’inclinaison vers l’arrière :   Â2   =   8°
Â3   =   Â1 – Â2   =   33°41′ – 8°   =   25°41′
Charge axiale totale :   Fa   =   R * cosinus Â3   =   226 * 0,90120   =         204 Newton
F3   =   R * sinus Â3   =   226 * 0,43340   =                                                            98 Newton

5) Effet de balourd :

Estimation balourd reporté à l’extrémité d’une pale : Mb  =  5 grammes  =  0,005 kG
Estimation vitesse de rotation : ω = 700 tours/minute = (700 * 2 * π) / 60 = 73 rad/sec
Effort dû au balourd :  F4  =  ( Mb * ω² ) / Rr  = 0,005 * 73 * 73 * 1,02   =     27 Newton
Force radiale totale :    F3 + F4   =   98 + 27   =                                              125 Newton

6) Types de moyeux :

Axe tournant et moyeu tournant.

Dans le cas de l’axe tournant, la charge radiale permanente s’applique sur la partie concave (favorable) de la cage extérieure : surface maximum.
Dans le cas du moyeu tournant, elle s’applique sur la partie convexe (défavorable) de la cage intérieure : surface réduite. Dans ce dernier cas, FÄG recommande de majorer la charge radiale d’un coefficient Z = 1,4.
La charge axiale s’applique sur la totalité des circonférences intérieure et extérieure.
Dans le cas des roulements à gorges profondes, les coefficients X et Y dépendent de l’importance relative de la charge axiale (rapport entre Fa et Co).

7) Vérification d’un roulement EL4 SKF avec AXE TOURNANT :

Co = 400 N              C = 900 N
Soit D1 = 20 mm = 0,020 m        et        D2 = 50 mm = 0.050 m
Charge radiale totale : Fr = (F3 + F4) * (D2 / D1) = (98 + 27) * (50 / 20) =     313 N
Fa / Co = 204 / 400 =                                                                                                        0,51
D’après le tableau N° 1 et par extrapolation :           X = 0,295      Y = 1,06      e = 0,60

Figure N° 3 : Charges reportées sur le roulement principal (axe tournant) .

Tableau N° 1 : Influence de la charge axiale (source SKF).

Condition Fa / Fr > e      soit      204 / 313 = 0,65      donc > 0,60   condition remplie.
Charge équivalente :    P = (X * Fr) + (Y * Fa)
P = (0,295 * 313) + (1,06 * 204) = 46,61 + 216,24 =                                                  243 N
Rapport de charge : C / P = 900 / 243 =                                                                          3,7
Estimation de durée pour 700 à 800 tr/mn : environ 1000 heures d’après le tableau N°3

Tableau N° 3 : Durée en fonction de la vitesse (source SKF).

8) Vérification d’un roulement EL4 SKF avec MOYEU TOURNANT :

figure N° 4 : Charges reportées sur le roulement principal (moyeu tournant).

Co = 400 N          C = 900 N
Soit  : D’1 = 21 mm     et         D’2 = 25 mm
Charge radiale totale : F’r = ( F3 + F4 )*( D’2 / D’1 ) = ( 98 + 27 )*( 25 / 21 ) =     149 N
Fa / Co = 204 / 400 =                                                                                                             0,51
Tableau N° 1 :      X = 0,295       Y = 1,06     e = 0,60       ( par extrapolation).
Dans le cas du moyeu tournant :                             Z = 1,4
Charge équivalente :                    P’ = ( Z * X * F’r ) + ( y * Fa )
P’ = ( 1,4 * 0,95 * 149 ) + ( 1,06 * 204 ) =                                                                        278 N
Rapport de charges : C / P’ = 900 / 278 =                                                                           3,2
Estimation de durée pour 700 à 800 tr/mn : environ 850 heures d’après le tableau N°3

9) Formule simplifiée :

Sur la base des calculs ci-dessus, il est envisageable de proposer une formule empirique qui permettrait d’évaluer simplement un roulement avec un bon coefficient de sécurité, avec parfois dimensionnement à la taille supérieure.

C   >=  M * 200

Exemple : Pour M = 5 kG                    C  >=  5 * 200  >=  1000 N
Soit EL 4 par défaut (900 N proche de 1000 N) ou R4 par excès (1460 N) et EL5 (1460 N) qui permettront quelques fantaisies acrobatiques.